Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ） 求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x，y）关于原点的对称点为P（x，y），求出P，Q坐标关系，然后把Q坐标代入y=f（x）解析式即可；
（Ⅱ）把不等式表示出来，分x≥1及x＜1两种情况可解；
（Ⅲ）写出h（x）的解析式，由题意可知[-1，1]为函数h（x）的增区间的子集，分情况讨论可求λ的范围．
【解析】
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x，y）关于原点的对称点为P（x，y），
则
∵点Q（x，y）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=x2-2x，即y=-x2+2x，
故g（x）=-x2+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x2-|x-1|≤0，
当x≥1时，2x2-x+1≤0，此时不等式无解；
当x＜1时，2x2+x-1≤0，解得；
因此，原不等式的解集为．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x+1
①当λ=-1时，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1
②．
（ⅰ）．
（ⅱ）当λ＞-1时，≥1，解得-1＜λ≤0．
综上，λ≤0．