Question

已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，若a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…对n∈N^*恒成立，则实数t的取值范围是    ．

Answer

由a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可
【解析】
a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）
=-4（a2+a4+…+a2n）
=，
所以-8n2+4n≥tn2，
所以对n∈N*恒成立，
t≤-12，
故答案为（-∞，-12]