Question

函数，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，函数y=f（x）图象恒过定点；
（2）当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围；
（3）若对任意a∈[m，0）时，函数y=f（x）在定义域上恒单调递增，求m的最小值．

Answer

（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，由此可得结论；
（2）利用f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，可得-2b≥fmin（x），求出函数的最小值，即可求实数b的取值范围；
（3）对任意a∈[m，0）时，函数y=f（x）在定义域上恒单调递增，等价于对任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即h（x）=x2+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立，由此可得结论．
（1）证明：令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
∴函数y=f（x）图象恒过定点（1，1）．                …（2分）
（2）【解析】
当a=1时，，
∴，即，
令f'（x）=0，得x=1．

x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x）
- +
f（x） 极小值

∴fmin（x）=f（1）=1，
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥fmin（x），即-2b≥1，
∴实数b的取值范围为．…（9分）
（3）【解析】
，即，令h（x）=x2+alnx-a，
由题意可知，对任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即h（x）=x2+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立．
∵，令h'（x）=0，得（舍）或．
列表如下：

x （0，） （，+∞）
h'（x） - +
h（x） ↘ 极小值 ↗

∴，解得a≥-2e3．
∴m的最小值为-2e3．                                 …（16分）