Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，
（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（II）证明平面AMD⊥平面CDE．

Answer

（1）如图所示，分别以AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．算出B、C、D、E、F、M各点的坐标，从而得到、的坐标，利用空间向量的夹角公式算出cos＜，＞的值，即得异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）利用数量积为零的两个向量相互垂直，证出AM⊥CE且DM⊥CE，从而证出CE⊥平面AMD，结合面面垂直判定定理，即可证出平面AMD⊥平面CDE．
【解析】
分别以AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设AB=1，依题意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）
E（0，1，1），F（0，0，1），M（，1，）
（ I）=（-1，0，1），=（0，-1，1）
∴•=-1×0+0×（-1）+1×1=1
||==，||==
可得cos＜，＞===
∵＜，＞的范围是[0，π]，∴＜，＞=
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为．
（ II）∵=（，1，），=（-1，0，1），
∴•=×（-1）+1×0+×1=0，得⊥，
同理可得：•=0，得⊥
∵AM、DM是平面AMD内的相交直线，∴CE⊥平面AMD
又∵CE⊂平面CDE，∴平面AMD⊥平面CDE．