Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若，求b的最大值．
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f'（x）-a（x-x₁），求证：．

Answer

（1）求导函数，根据x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）根据x1，x2是函数f（x）的两个极值点，可知x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，从而，利用，可得b2=3a2（6-a），令h（a）=3a2（6-a），利用导数，即可求得b的最大值；
（3）根据x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，可得f'（x）=3a（x-x1）（x-x2），根据，可得，进而有=，利用配方法即可得出结论．
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=3ax2+2bx-a2，
∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0，
∴3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x3-9x2-36x．-------------------（4分）
（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，∴f'（x1）=f'（x2）=0．
∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，故有△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．
∴，
∵a＞0，∴x1•x2＜0，
∴-------------------（6分）
由得，
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，∴3a2（6-a）≥0，∴0＜a≤6．
令h（a）=3a2（6-a），则h′（a）=36a-9a2．
当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；
当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（0，4）内是减函数；
∴当a=4时，h（a）是极大值为96，
∴h（a）在（0，6）上的最大值是96，∴b的最大值是．…（8分）
（3）∵x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根．∴f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）
∵，∴
∴…（10分）
∵x1＜x＜x2，
∴═
=-3a