Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅲ） 求二面角B-PD-C的正切值．

Answer

（Ⅰ）连接AC后容易看出EF为△CPA的中位线，运用线面平行的判定即可得证；
（Ⅱ）根据题目给出的边的关系先说明PA⊥PD，然后根据线面垂直的性质得到CD⊥面PAD，从而证得PA⊥平面PDC，由面面垂直的判定证得结论；
（Ⅲ）取PD的中点M，连接EM、FM后可证明∠EMF为二面角B-PD-C的平面角，在直角三角形FEM中求其余弦值．
法一：
（Ⅰ）证明：连接AC，在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD
（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD
所以，CD⊥平面PAD∴CD⊥PA，
又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，
即PA⊥PD．又CD∩PD=D，且CD⊂面ABCD，PA⊂面ABCD，∴PA⊥面PDC
又PA⊂面PAD，∴面PAD⊥面PDC．
（Ⅲ）【解析】
设PD的中点为M，连接EM，MF，则EM⊥PD
由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角．
在Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为．

法二：
如下图，取AD的中点O，连接OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵，∴PA⊥PD，．
以O为原点，直线OA，OF，OP为x，y，z轴建立空间直线坐标系，则有，，，，，．
∵E为PC的中点，∴．
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量为而，
且，∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵，∴，
∴，从而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA⊂平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为．
设平面PBD的法向量为．∵，
∴由可得，令x=1，则y=1，z=-1，
故∴，
即二面角B-PD-C的余弦值为，二面角B-PD-C的正切值为．