Question

点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer

由圆M与X轴相切与焦点F，设M（c，y），则y=或，所以圆的半径为，过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c，PN=NQ=，由∠PQM为钝角，知，由此能够求出椭圆离心率的取值范围．
【解析】
∵圆M与X轴相切与焦点F，
∴不妨设M（c，y），则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）
M在椭圆上，则y=或（a2=b2+c2），
∴圆的半径为，
过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ，MN=c（PN，NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）
∴PN=NQ=，
∵∠PQM为钝角，则∠PMN=∠QMN＞45°
即PN=NQ＞MN=c
所以得＞c，即，
得，
a2-2c2+c2e2＞2c2
-4+e2＞0，
e4-4e2+1＞0
（e2-2）2-3＞0
e2-2＜-（0＜e＜1）
e2＜-+2
∴0＜e＜．
故答案为：（0，）．