Question

设函数f（x）=xe^kx（k≠0），
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2bx+4，当k=1时，若对任意x₁∈R，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．

Answer

（1）f′（x）=（1+kx）ekx，由f（0）=0，且f′（0）=1，能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）令f′（x）=（1+kx）ekx＞0，所以1+kx＞0，由此利用k的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调性．
（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，由此能求出实数b取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=（1+kx）ekx，
因为f（0）=0，且f′（0）=1，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=x．（4分）
（2）令f′（x）=（1+kx）ekx＞0，所以1+kx＞0，
当k＞0时，x＞-，
此时f（x）在（-∞，-）上单调递减，在（-，+∞）上单调递增；
当k＜0时，x＜-，
此时f（x）在（-∞，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减．（8分）
（3）当k=1时，f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（-1）=-，
又已知存在x2∈[1，2]，
使f（x1）≥g（x2），所以-≥g（x2），x2∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g（x）=x2-2bx+4≤-，
即2b≥x+，
即因为当x∈[1，2]，x+∈[4+，5+]，
所以2b≥4+，即实数b取值范围是b≥．（14分）