Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx（λ≤-1）是区间[-1，1]上的减函数，（1）求a的值．（2）若g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer

（1）直接利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）恒成立代入整理后即可求a的值；
（2）先利用函数g（x）在[-1，1]上单调递减，求出其最大值，再把g（x）≤t2-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为其最大值小于等于t2-λt+1恒成立，进而得到（1-t）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=ln（ex+a）是奇函数，
则ln（ex+a）=-ln（ex+a）恒成立（2分）
∴（ex+a）ln（ex+a）=1
1+ae-x+aex+a2=1∴a（ex+e-x+a）=0∴a=0（4分）
（2）又∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g（x）max=g（-1）=-λ-sin1（6分）
∴只需-λ-sin1≤t2-λt+1，（8分）
∴（1-t）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤-1恒成立．
令h（λ）=（1-t）λ+t2+sin1+1（λ≤-1）
则（11分）
∴
而t2+t+sin1≥0恒成立
∴t≥1（13分）