Question

对于给定的正整数n（n≥2），记集合Mn={2，2²，2³，…，2ⁿ}．现将集合M_n的所含有两个元素的子集依次记为A_k（k=1，2，3，…），并将集合A_k中两个元素的积记为a_k，所有可能的a_k的和记为S．则
（1）若a_k的最大值为128，则n=    ；
（2）求S=    （用n表示）．

Answer

（1）由题意知，ak的最大值为2（n-1）+n=22n-1，根据ak的最大值为128，可求n的值；
（2）由题意，ak可表示为2i•2j（1≤i＜j≤m），表示出S，分组求和，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意知，ak的最大值为2（n-1）+n=22n-1
∵ak的最大值为128，∴22n-1=128，∴n=4；
（2）由题意，ak可表示为2i•2j（1≤i＜j≤m），则
S=（21+2+21+3+…+21+n）+（22+3+22+4+…+22+n）+…+2（n-2）+（n-1）+2（n-2）+n）+2（n-1）+n
∵21+（s+1）+22+（s+1）+…+2s+（s+1）=4•（4s-2s）
∴S=4[（4+42+…+4n-1）-（2+22+…+2n-1）]=
故答案为：4，