Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对于任意的正整数n都有a_n•a_n+1≠1，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，则S₂₀₁₂=    ．

Answer

再写一式，两式相减可推断出an+3=an，进而可知数列{an}是以3为周期的数列，通过a1=1，a2=2，求得a3，而2012=3×670+2，故可知S2012的答案．
【解析】
依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2，an-1anan+1=an-1+an+an+1，
两式相减得anan+1（an+2-an-1）=an+2-an-1，
∵an•an+1≠1，
∴an+2-an-1=0，即an+3=an，
∴数列{an}是以3为周期的数列，
∵a1a2a3=a1+a2+a3，∴a3=3
∴S2012=670×（1+2+3）+1+2=4023
故答案为：4023．