Question

设二次函数f（x）=x²-ax+b，若f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，函数g（x）=x-1．
（1）求a与b的值；
（2）解不等式f（x）＞cg（x）．

Answer

（1）已知二次函数f（x）=x2-ax+b，若f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，可得方程x2-ax+b=0的两个根为1，2，根据韦达定理求出a与b的值；
（2）根据（1）的解析式，将其代入不等式f（x）＞cg（x），利用十字相乘法进行求解，求出的两个根，通过分类讨论进行求解；
【解析】
（1）二次函数f（x）=x2-ax+b，若f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
说明方程f（x）=x2-ax+b=0两个根为1和2，
∴1+2=-（-a），1×2=b，
解得a=3，b=2，
（2）由（1）可得f（x）=x2-3x+2，
∵函数g（x）=x-1，
∴f（x）＞cg（x）．可得x2-3x+2＞cx-c，
可得x2-（c+3）x+2+c＞0，
可得（x-2-c）（x-1）＞0，
若c+2＞1即c＞-1，不等式的解集为：{x|x＞c+2或x＜1}；
若c+2＜1即c＜-1，不等式的解集为：{x|x＞1或x＜c+2}；
若c+2=1即c=-1，不等式的解集为：{x|x≠1}；
∴不等式f（x）＞cg（x）的解集为：
若c＞-1，不等式的解集为：{x|x＞c+2或x＜1}；
若c＜-1，不等式的解集为：{x|x＞1或x＜c+2}；
若c=-1，不等式的解集为：{x|x≠1}；，