Question

已知椭圆的离心率是，且经过点M（2，1）．直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线MA，MB的斜率分别是k₁，k₂，求证k₁+k₂为定值．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆的离心率是，且经过点M（2，1），可求几何量，从而可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，化简可得结论．
（Ⅰ）【解析】
∵椭圆的离心率是，且经过点M（2，1），
∴，，
∴椭圆方程为；
（Ⅱ）证明：直线方程代入椭圆方程，化简可得x2+2mx+2m2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，
∴k1+k2=+==
==0
即k1+k2为定值．