Question

已知函数f（x）=asinx-x+b在处有极值（其中a，b都是正实数）．
（I）求a的值；
（II）对于一切；
（III）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用函数f（x）=asinx-x+b在处有极值，可求a的值；
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切恒成立，求出右边的最大值，即可求b的取值范围；
（III）求导函数，利用函数f（x）在区间上单调递增，建立不等式，即可求实数m的取值范围．
【解析】
（I）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1．
∵函数f（x）=asinx-x+b在处有极值，∴，解得a=2．…（3分）
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切恒成立．
记g（x）=x+cosx-sinx，∴．
∵，∴，∴．
∴g′（x）≤0，∴g（x）在[0，]上是减函数
∴g（x）max=g（0）=1，
∴b＞1．…（8分）
（III）求导函数可得f′（x）=2cosx-1，
∵函数f（x）在区间上单调递增，
∴．
即，
∴m∈（0，1]．…（12分）