已知函数f（x）=ax2-2ax+2+b（a≠0）在区间[2，3]上有最大值5，...

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a≠0）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2；
（1）求a，b的值；
（2）若a＜0，g（x）=f（x）-2^mx在[2，4]上无零点，求m的取值范围．

（1）由于二次函数的对称轴为x=1，当a＞0时，由函数的单调性可得，由此求得a，b的值．当a＜0时，由函数的单调性可得，由此求得a，b的值．综上可得结论．（2）由（1）的结论及a＜0，可得函数g（x）在区间[2，4]上单调递减，由g（4）＜0，结合题意可得g（2）＜0，即5-2×2m＜0，由此求得 m的取值范围．【解析】（1）由于二次函数f（x）=ax2-2ax+2+b的对称轴为x=1，当a＞0时，函数在区间[2，3]上是增函数，由求得．当a＜0时，函数在区间[2，3]上是减函数，由解得．（8分）综上可得，，或．（2）由（1）的结论及a＜0，则有，得f（x）=-x2+2x+5，故 g（x）=f（x）-2mx=-x2+（2-2m）x+5，对称轴，所以在区间[2，4]上单调递减．（12分）又g（4）=-16+（2-2m）×4+5＜0，g（x）=f（x）-2mx在[2，4]上无零点，所以有g（2）＜0，即5-2×2m＜0，2m，得，故m的取值范围为（，+∞）．（16分）

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考点分析：

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