Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，k∈R且，设F（x）=f（x）+（k-1）lnx，求函数F（x）在上的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得x∈[1，+∞）时，不等式，即恒成立，求出右边函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）a=1时，，分类讨论：（1）若k=0，F（x）在上单调递减；（2）k≠0时，，确定函数的单调性，即可求得函数的最值．
【解析】
（Ⅰ）由题设可得
因为函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以当x∈[1，+∞）时，不等式，即恒成立
因为当x∈[1，+∞）时，的最大值为1，所以实数a的取值范围是[1，+∞）-----（4分）
（Ⅱ）a=1时，，
所以，…（6分）
（1）若k=0，则，在上，恒有F'（x）＜0，所以F（x）在上单调递减
∴，…（7分）
（2）k≠0时，
（i）若k＜0，在上，恒有，所以F（x）在上单调递减
∴，…（9分）
（ii）k＞0时，因为，所以，所以，所以F（x）在上单调递减
∴，…（11分）
综上所述：当k=0时，，F（x）max=e-1；当k≠0且时，F（x）max=e-k-1，．…（12分）