Question

对n∈N^*，不等式所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）．
（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁且n≥2时，，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设c₁=1，当n≥2时，，且数列{c_n}的前n项和T_n，求T₉₉．

Answer

（1）画出可行域，结合图形写出xn，yn
（2）利用等比数列的前n项和公式求出an；利用错位相减法和等差数列的前n项和公式求出Sn
（3）先化简Cn，再利用裂项相消法求出T99
【解析】
（1）的可行域为
如图示，xn=1，yn=n
（2）由题意可知：a1=1，an=
故
记，则

两式相减得：

故
故数列{an}的前n项的和为：
（3）当n≥2时，
=
==lg（n+1）-lgn
T99=1+（lg3-lg2）+（lg4-lg3）+（lg5-lg3）++（lg100-lg99）
=1+2-lg2
=3-lg2．