Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别是AC，AB上的中点，
将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，作A₁F⊥CD，垂足为F，如图2．
（1）求证：DE∥平面A₁CB；
（2）求证：A₁F⊥BE；
（3）若∠A=45°，AC=2，在线段CD上是否存在点F，使得二面角A₁-BE-F为45°．若存在，则指出点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由D，E分别是AC，AB上的中点，结合中位线定理和线面平行的判定定理可得结论；
（2）由已知易得对折后DE⊥平面A1DC，即DE⊥A1F，结合A1F⊥CD可证得A1F⊥平面BCDE，再由线面垂直的性质可得结论
（3）过F作FG垂直BE交BE于点G，高DF=x，根据A1F=FG，可构造关于x的方程，解方程求出x值即可确定F的位置．
证明：（1）∵D，E分别是AC，AB上的中点
∴DE∥BC
又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB；
∴DE∥平面A1CB；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC⊥BC
又由DE∥BC
∴AC⊥DE
即DE⊥A1D，DE⊥CD
又∵A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1DC
∴DE⊥平面A1DC
又∵A1F⊂平面A1DC
∴DE⊥A1F
又∵A1F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面BCDE；
∴A1F⊥平面BCDE
又∵BE⊂平面BCDE
∴A1F⊥BE；
（3）过F作FG垂直BE交BE于点G，高DF=x，
∵∠A=45°，AC=2，二面角A1-BE-F为45°．
则A1F=，FG=
∵A1F=FG
∴=
解x=
∴AC上存在点F，点F在距离C点距离为处