Question

已知函数处的切线方程为x-y-1=0．
（I）求f（x）的解析式；
（II）设函数g（x）=lnx，证明：g（x）≥f（x）对x∈[1，+∞）恒成立．

Answer

（Ⅰ）把切点代入切线方程可得a+b=0，再根据导数的几何意义可得f′（1）=1，又得到关于a、b的方程，联立解出即可．
（Ⅱ）把要证在[1，+∞）上恒成立，等价转化为即证x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．进而利用导数求出函数h（x）=x2lnx+lnx-2x+2的最小值大于0即可．
（Ⅰ）【解析】
将x=1代入切线方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又，化简得a+b=0．            
，．   
解得a=2，b=-2，
∴．  
（Ⅱ）证明：要证在[1，+∞）上恒成立，
即证（x2+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即证x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
设h（x）=x2lnx+lnx-2x+2，则．
∵x≥1，∴，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．