Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，则“f（x）为[-3，-1]上的减函数”是“f（x）为[5，7]上的增函数”的（ ）
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要的条件

Answer

根据偶函数的性质，根据等式，求出f（x）的周期，偶函数的图象是关于y轴对称，函数的单调性在x＞0和x＜0是相反的，从而进行判断；
【解析】
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∵，可得f（x+4）=-，
∴f（x+4）=-=-=f（x），
∴函数的周期为T=4，
若“f（x）为[-3，-1]上的减函数，可得f（x）在[1，3]上是增函数，同理再加一个周期4，可得
f（x）在[4，7]上为增函数，
若“f（x）为[5，7]上的增函数，减去两个周期，
∴f（x）在[-3，-1]上为减函数，
∴“f（x）为[-3，-1]上的减函数”是“f（x）为[5，7]上的增函数的充要条件；
故选C；