Question

给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a₁，a₂，…，a_n变换为数列|a₁-c|，|a₂-c|，…，|a_n-c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N^*）次变换记为T_k（c_k），其中c_k为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T₁（c₁），T₂（c₂），…，T_k（c_k）为“k次归零变换”
（Ⅰ）对数列：1，2，4，8，分别写出经变换T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的数列；
（Ⅱ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；
（Ⅲ）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”．

Answer

（Ⅰ）根据新定义，可计算经变换T1（2），T2（3），T3（4）后得到的数列；
（Ⅱ）根据新定义，计算经变换T1（4）；T2（2）；T3（1），或T1（2）；T2（2）；T3（2）；T4（1），可得结论；
（Ⅲ）记经过Tk（ck）变换后，数列为．取，，继续做类似的变换，取，（k≤n-1），经Tk（ck）后，得到数列的前k+1项相等，再取，经Tn（cn）后，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
T1（2）：1，0，2，6；T2（3）：2，3，1，3；T3（4）：2，1，3，1．…（3分）
（Ⅱ）【解析】
方法1：T1（4）：3，1，1，3；T2（2）：1，1，1，1；T3（1）：0，0，0，0．
方法2：T1（2）：1，1，3，5；T2（2）：1，1，1，3；T3（2）：1，1，1，1；T4（1）：0，0，0，0．
…（6分）
（Ⅲ）证明：记经过Tk（ck）变换后，数列为．
取，则，即经T1（c1）后，前两项相等；
取，则，即经T2（c2）后，前3项相等；
继续做类似的变换，取，（k≤n-1），经Tk（ck）后，得到数列的前k+1项相等．特别地，当k=n-1时，各项都相等，最后，取，经Tn（cn）后，数列各项均为0．所以必存在n次“归零变换”．  …（13分）