Question

如图，一张平行四边形的硬纸片ABCD中，AD=BD=1，．沿它的对角线BD把△BDC折起，使点C到达平面ABCD外点C的位置．
（Ⅰ）证明：平面ABCD⊥平面CBC；
（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A-BD-C的大小．

Answer

（Ⅰ）要证面面垂直，只要证线面垂直，要证线面垂直，只要证线线垂直，由题意易得DB⊥BC，又DB⊥BC，则题目可证．
（Ⅱ）解法一：由DB⊥BC，AD⊥BD，故只要过B做BE∥AD，则角∠CBE为二面角A-BD-C的平面角，构造三角形求角即可．
解法二：根据题意，建立空间坐标系，利用空间向量求解．由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以与夹角的大小等于二面角A-BD-C的大小．由夹角公式求与的夹角的余弦，从而确定角的大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为AD=BC=BD=1，，所以∠DBC=90°，∠ADB=90°．
因为折叠过程中，∠DBC=∠DBC=90°，所以DB⊥BC，又DB⊥BC，
故DB⊥平面CBC．
又DB⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面CBC．

（Ⅱ）解法一：如图，延长CB到E，使BE=CB，连接AE，CE．
因为AD平行等于BE，BE=1，DB=1，∠DBE=90°，
所以AEBD为正方形，AE=1．
由于AE，DB都与平面CBC垂直，
所以AE⊥CE，可知AC＞1．
因此只有时，△ABC为等腰三角形．
在Rt△AEC中，，又BC=1，
所以△CEB为等边三角形，∠CBE=60°．
由（Ⅰ）可知，CB⊥BD，EB⊥BD，
所以∠CBE为二面角A-BD-C的平面角，
即二面角A-BD-C的大小为60°．

解法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，
建立如图的空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）．
由（Ⅰ）可设点C的坐标为（x，1，z），其中z＞0，则有x2+z2=1．①
因为△ABC为等腰三角形，所以AC=1或．
若AC=1，则有（x-1）2+1+z2=1．
由此得x=1，z=0，不合题意．
若，则有（x-1）2+1+z2=2．②
联立①和②得，．故点C的坐标为．
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以与夹角的大小等于二面角A-BD-C的大小．
又，，．
所以．
即二面角A-BD-C的大小为60°．