Question

对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则实数m的取值范围是    ；x₁+x₂+x₃的取值范围是    ．

Answer

由已知新定义，我们可以求出函数的解析式，进而分析出函数的两个极值点，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1+x2+x3的取值范围
【解析】
∵，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=，
则当x=0时，函数取得极小值0，当x=时，函数取得极大值
故关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3时，
实数m的取值范围是
令f（x）=，则x=，或x=
不妨令x1＜x2＜x3时
则＜x1＜0，x2+x3=1
∴x1+x2+x3的取值范围是
故答案为：，