Question

已知函数f（x）= （a∈R）．
（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（2）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）对f（x）进行求导，求出极值点，列出表格，进而求函数f（x）的极值；
（2）求出f（），f（1），f（2）的值，讨论与1，2值的大小，利用零点定理进行判断；
【解析】
（1）f′（x）=ax2-（a+1）x+1=a（x-1）（x-）
∵a＜0，∴＜1，

（-∞，） （，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - + -
f（x） 递减 极小值 递增 极大值 递减

∴f（x）极大值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=-（a-1）
（2）f（）==，f（1）=-（a-1）
f（2）=（2a-1），f（0）=-＜0，
①当a时f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，f（0）=，
f（1）=-（a-1）＞0，f（2）=（2a-1）≤0，所以f（x）在区间[0，1]，（1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；
当＜a≤1时，f（x）在[0，1]上为增函数，在（1，）上为减函数，（，2）上为增函数，f（0）=，
f（1）=-（a-1）＞0，f（）=，f（2）=（2a-1）＞0，
所以f（x）只在区间[0，1]上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
③当a＞1时，f（x）在[0，]上为增函数，在（，1）上为减函数，（1，2）上为增函数，f（0）=-＜0，f（）=，f（1）=-（a-1）＜0，f（2）=（2a-1）＞0，
，所以f（x）只在区间（1，2）上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
故存在实数a，当a≤时，函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点；