Question

设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β．能推得a⊥b的条件有（ ）组．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①利用线面平行的性质，可得过b与β相交的直线c∥b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；
②在α内作直线c垂直于α，β的交线，则可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b∥c，从而a⊥b；
③由b⊥β，α∥β，可得b⊥α，利用线面垂直的性质可得a⊥b；
④由a⊥α，α∥β，可得a⊥β，由b∥β，可得过b与β相交的直线c∥b，从而可得结论．
【解析】
①∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；
②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b∥c，∴a⊥b，故结论成立；
③∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，故结论成立；
④∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，a⊥c，∴a⊥b，故结论成立
故选C．