Question

已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（）=．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求证：∀x∈（0，+∞），．
（Ⅲ）设g（x）=，h（x）=（x²+x）g′（x）．求证：：∀x∈（0，+∞），h（x）＜．

Answer

（Ⅰ）设x＞0，则，利用2f（x）+f（）=，可得2f（）+f（x）=（x-）lnx，由此可得函数解析式，求导函数确定函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（Ⅱ）构造函数，证明函数F（x）在（0，+∞）上单调递减，即可证得结论；
（Ⅲ）h（x）=（x2+x）g′（x）=（1-x-xlnx），证明p（x）=1-x-xlnx取得最大值1+，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
设x＞0，则
∵2f（x）+f（）=，①
∴2f（）+f（x）=（x-）lnx，②
①×2-②得：3f（x）=3xlnx，∴f（x）=xlnx
由f′（x）=lnx+1=0，可得x=
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞；由f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜
∴函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增
∴x=时，函数取得最小值-；
（Ⅱ）证明：构造函数，则F′（x）=-
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＜0
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递减
∴F（x）＜F（0）=0
∴∀x∈（0，+∞），；
（Ⅲ）证明：∵g（x）=，∴g′（x）=
∴h（x）=（x2+x）g′（x）=（1-x-xlnx），
令p（x）=1-x-xlnx，则p′（x）=-lnx-2
由p′（x）＞0，可得0＜x＜；由p′（x）＜0，可得x＞，
∴函数p（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减
∴x=时，p（x）取得最大值1+
∵1+＜，
∴h（x）＜•＜．