Question

设函数f（x）=x（x-1）²．
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x²-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？
（3）设函数g（x）=e^x-2x²+4x+t（t为常数），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数t的值．（e⁷＞10³）

Answer

（1）由f（x）=x3-2x2+x，得f′（x）=3x2-4x+1，令f′（x）=3x2-4x+1=0，得x1=，x2=1，列表讨论能求出f（x）的极小值．
（2）由f（x）=x3-2x2+x，知F（x）=x3-2axlnx，由x和a的取值范围进行分类讨论，能求出函数零点的个数．
（3）由g（x）=ex-2x2+4x+t，3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立实数m有且只有一个，得3-x3+2x2-x≤x+m≤ex-2x2+4x+t在[0，+∞）上恒成立实数m有且只有一个，由此能求出t．
【解析】
（1）∵f（x）=x（x-1）2=x3-2x2+x，
∴f′（x）=3x2-4x+1，
令f′（x）=3x2-4x+1=0，得x1=，x2=1，
列表讨论

 x  （-∞，）    （）  1 （1，+∞） 
 f′（x） +  0 -  0 +
 f（x） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

由上表知：f（x）的增区间是 （-∞，），（1，+∞），减区间是（），
∴当x=1时，f（x）取极小值f（1）=0．…3分
（2）∵f（x）=x（x-1）2=x3-2x2+x，
∴F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx=x3-2axlnx，
∵x＞0，∴由F（x）=x3-2axlnx=0，得x2=2alnx，
∴当a＜e时，函数零点的个数为0；
当a=e时，函数零点的个数为1；
当a＞e时，函数零点的个数为2．
（3）∵g（x）=ex-2x2+4x+t，
∴由3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，得
3-x3+2x2-x≤x+m≤ex-2x2+4x+t在[0，+∞）上恒成立，
∴h1（x）=x+m-（3-x3+2x2-x）=x3-2x2+2x+m-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∵h1′（x）=3x2-4x+2=3（x-）2+，
∴h1（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴h1（x）在[0，+∞）上的最小值h1（x）min=h1（0）=m-3≥0．
∴m≥3，
∵实数m有且只有一个，
∴m=3
h2（x）=ex-2x2+4x+t-x-m=ex-2x2+3x+t-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h2（x）=ex-2x2+3x+t≥3在[0，+∞）上恒成立，
当x=0时，h2（0）=1+t≥3，
∴t≥2．