Question

21．设函数，其中m是实数，设M={m|m＞1}
（1）求证：当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；反之，如果f（x）对所有实数x都有意义，则m∈M；
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；
（3）求证：对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

Answer

（1）对数的真数构造函数通过m＞1，推出对数的真数大于0，所以当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；通过f（x）对所有实数x都有意义，求出m的范围说明m∈M．
（2）利用基本不等式以及函数的单调性直接求解即可．
（3）通过函数的最小值以及函数的单调性，直接判断对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．
【解析】
（1）函数，
令t=
若m＞1，则，∴t＞0．
若t＞0，则△=（4m）2-4（4m2+m+）=，
∵m2-m+1=（m-）2+＞0，
∴m＞1，即m∈M．
（2）当m∈M时，t=
=（x-2m）2+m+≥m+，（x=2m时取等号）．
又函数y=log3t在定义域上是增函数，
∴x=2m时f（x）有最小值log3（m+）．
（3）∵m+=m-1++1，
又m＞1，∴m-1++1≥3，当且仅当m-1=，即m=2时取等号．
又函数y=log3t在定义域上是增函数，
所以log3（m+）≥1，
∴对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．