Question

若方程x²+（sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的两实根为α、β，数列1，+，（+）²，…的所有项的和为2-，试求θ的值．

Answer

根据一元二次方程根与系数的关系，得α+β=-sin2θ，αβ=2cosθ．由无穷等比数列的求和公式，得=2-，解得sinθ=，所以θ=或，而θ=时原方程无实数根，故只有θ=符合题意，得到本题的答案．
【解析】
∵方程x2+（sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的两实根为α、β，
∴△=（sin2θ）2-4×2cosθ≥0 …（1）
且α+β=-sin2θ，αβ=2cosθ
由题意，得|+|＜1，
∴||=||=|sinθ|＜1，即|sinθ|＜
∵0＜θ＜π，∴0＜sinθ＜…（2）
∵等比数列1，+，（+）2，…的所有项的和为S==2-，
∴=2-，解之得sinθ=，符合（2）
∴θ=或，经检验θ=不满足（1），故只有θ=符合题意
综上所述，θ的值为