Question

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表达式；
（II）求证：当x＞1时，f（x）＜-2lnx．

Answer

（I）利用待定系数法，结合对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立，建立方程组，即可求f（x）的解析表达式；
（II）构造g（x）=f（x）+2lnx，证明函数g（x）在（1，+∞）是单调减函数，即可求得结论．
（I）【解析】
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f'（x）=2ax+b，
f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c，
∴，解之得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x2+1．
（II）证明：设g（x）=f（x）+2lnx，则=
∵x＞1，∴g′（x）＜0
∴函数g（x）在（1，+∞）是单调减函数
∴g（x）＜g（1）=0
∴当x＞1时，f（x）＜-2lnx．