Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）经过定点F（0，1）的两直线l₁，l₂与椭圆分别交于P、Q、M、N，且l₁⊥l₂，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

Answer

（I）由题意，椭圆的焦点在y轴上，利用椭圆的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为，建立方程组，从而可求椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分斜率组存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，即可求得结论．
【解析】
（I）由题意，椭圆的焦点在y轴上，，∴，∴椭圆方程为…（4分）
（2）（ⅰ）若l1与l2中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则…（5分）
（ⅱ）若l1与l2得斜率均存在，设l1：y=kx+1与椭圆方程联立
消去y可得（2+k2）x+2kx-1=0，则△=8（k2+1＞0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=
∴
同理可得…（8分）
∴=
由，得…（10分）
由（ⅰ）（ⅱ）知，…（12分）