Question

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．，求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

Answer

（1）先根据中位线定理得到OE∥AP，进而再由线面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE．
（2）先根据线面垂直的性质定理得到PO⊥BD，结合AC⊥BD根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，从而根据面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE，得证．
证明（1）∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP，
又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE

（2）∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC，
而BD⊂平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．