Question

已知函数x²+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．

Answer

求出f′（x），把（0，0）代入f′（x）求得b的值，把b的值代入f′（x）
（Ⅰ）把a等于1代入到导函数中求出导函数，把x=3代入导函数中得f′（3）即为函数在x=3处切线方程的斜率，把x=3代入f（x）中求出切点坐标（3，f（3）），然后根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）把求得导函数代入到f′（x）=-9中，解出-a-1，根据x小于0，利用基本不等式即可求出a的最大值；
（Ⅲ）当a大于0时，令导函数为0求出x的值，利用x的值，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的极大值和极小值，并根据a大于0判断极大值和极小值的正负及f（-2）和f（（a+1））的正负，即可得到函数零点的个数．
【解析】
，f'（x）=x2-（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x-a-1）．
（Ⅰ）当a=1时，，f'（x）=x（x-2），f（3）=1，f'（3）=3
所以函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x-a-1）=-9，，a≤-7，
当且仅当x=-3时，a=-7，所以a的最大值为-7；
（Ⅲ）当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

f（x）的极大值f（0）=a＞0，
f（x）的极小值
又，，．
所以函数f（x）在区间内各有一个零点，
故函数f（x）共有三个零点．