Question

已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由 ，得 ．再由椭圆C经过点，能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0．再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．
（本小题满分14分）
（Ⅰ）【解析】
由 ，
得 ．   ①…（2分）
由椭圆C经过点，得．    ②…（3分）
联立①②，解得 b=1，．  …（4分）   
所以椭圆C的方程是 ．  …（5分）
（Ⅱ）【解析】
易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得 （1+3k2）x2+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k2-36（1+3k2）＞0，得k2＞1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，． …（9分）
所以 ．     …（10分）
因为 ，
设 k2-1=t（t＞0），
则 ．   …（13分）
当且仅当，即时等号成立，
此时△AOB面积取得最大值．…（14分）