Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2，BC=3．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2） 求四棱锥B-AA₁C₁D的体积．

Answer

（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B-AA1C1D的体积求出四棱锥B-AA1C1D的体积即可．
【解析】

（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1．（3分）
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．（6分）
（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，（8分）
∵AB=BB1=2，BC=3，
在Rt△ABC中，，，（10分）
∴四棱锥B-AA1C1D的体积（12分）==3．
∴四棱锥B-AA1C1D的体积为3．（14分）