Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设c_n=4a_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式对任意的n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）当n=1时，S1=a（S1-a1+1），得a1=1．当n≥2时，由（1-a）Sn=-aan+a，得，（1-a）Sn-1=-aan-1+a．故an=aan-1，由此能求出{an}的通项公式．
（2）由，若数列{bn}为等比数列，则有，而，故[a3（2a+1）]2=（2a2）•a4（2a2+a+1），由此能求出a的值．
（3）由，知，故，所以，由不等式恒成立，得恒成立，由此能求出实数k的取值范围．
【解析】
（1）当n=1时，S1=a（S1-a1+1），得a1=1．
当n≥2时，由Sn=a（Sn-an+1），
即（1-a）Sn=-aan+a，①
得，（1-a）Sn-1=-aan-1+a，②
①-②，得（1-a）an=-aan+aan-1，
即an=aan-1，
∴，
∴{an}是等比数列，且公比是a，
∴．
（2）由（1）知，，
即，
若数列{bn}为等比数列，
则有，
而，
故[a3（2a+1）]2=（2a2）•a4（2a2+a+1），
解得，
再将代入bn，得，
由，知{bn}为等比数列，
∴．
（3）由，知，
∴，
∴，
由不等式恒成立，
得恒成立，
设，由，
∴当n≤4时，dn+1＞dn，当n≥4时，dn+1＜dn，
而，
∴d4＜d5，
∴，
∴．