Question

已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和．
（1）若S₄，S₁₀，S₇成等差数列，证明a₁，a₇，a₄也成等差数列；
（2）设，，b_n=λa_n-n²，若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）设数列{an}的公比为q，根据等差中项的性质可知2S10=S4+S7，代入等比数列求和公式整理得1+q3=2q6．进而根据等比数列的通项公式可推断a1+a4=2a7．进而证明原式．
（2）把等比数列的求和公式代入S3和S6，两式相除即可求得q，把q代入S3求得a1，进而可得数列{an}的通项公式，根据数列{bn}是单调递减数列可知bn+1＜bn，把bn=λan-n2代入不等式，进而根据当n是奇数时，当n=1时取最大值；n是偶数时，当n=2时取最大值，进而得到λ的范围．
【解析】
（1）证明：设数列{an}的公比为q，
因为S4，S10，S7成等差数列，所以q≠1，且2S10=S4+S7．
所以，
因为1-q≠0，所以1+q3=2q6．
所以a1+a1q3=2a1q6，即a1+a4=2a7．
所以a1，a7，a4也成等差数列．
（2）因为，，
所以，①，②
由②÷①，得，所以，代入①，得a1=2．
所以，
又因为bn=λan-n2，所以，
由题意可知对任意n∈N*，数列{bn}单调递减，
所以bn+1＜bn，即，
即对任意n∈N*恒成立，
当n是奇数时，，当n=1时，取得最大值-1，
所以λ＞-1；
当n是偶数时，，当n=2时，取得最小值，
所以λ．
综上可知，，即实数λ的取值范围是．