Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段AC₁上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：
①BF∥CE；
②CE⊥BD；
③三棱锥E-BCF的体积为定值；
④△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；
其中，正确结论的个数是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①由BC与AC1为异面直线可判断①的正误；
②利用BD⊥平面ACC1，可判断②的正误；
③通过计算三棱锥E-BCF的体积可判断③；
④分析△BEF在底面ABCD内的正投影可判断④的正误．
【解析】
∵BC与AC1为异面直线，
∴BF与CE异面，故①错误；
对于②，∵ABCD-A1B1C1D1为棱长为1的正方体，
∴BD⊥平面ACC1，CE⊂平面ACC1，
∴CE⊥BD，故②正确；
对于③，VE-BCF=VB-ECF=×（|BD|）•S△ECF=וS△ECF，
又在直角三角形ACC1中，点C到EF的距离为h=，|EF|=|AC1|=，
∴S△ECF=××=，
于是，VE-BCF为定值，故③正确；
对于④，EF在底面ABCD内的正投影在底面对角线AC上，其射影的长度为|AC|，点B到AC的距离就是投影三角形的高，故△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形，正确．
综上所述，正确选项为②③④．
故答案为：C．