Question

已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A，B两点 如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值．

Answer

由双曲线的定义可知曲线E的方程，将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理可确定k的范围，利用弦长公式，可求k的值，根据，可得点C的坐标代入曲线E的方程，即可得到结论．
【解析】
由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，且，
所以b=1．
故曲线E的方程为x2-y2=1（x＜0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1-k2）x2+2kx-2=0．
由已知得，，解得．
∵==6．
即28k4-55k2+25=0，∴或．
又∵，∴．
故，．
设C（xc，yc），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mxc，myc），且m≠0．
∴，即C（）．
将点C的坐标代入曲线E的方程，得，∴m=±4．
但当m=-4时，点C不在曲线E上，不合题意．
∴m=4．