Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）试讨论函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）求函数的定义域对于f（x）只要分母不为0即可，注意对参数a进行讨论；
（2）求出定义域后，对f（x）进行求导，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；
【解析】
（1）当a∈[0，2）时，∵△=a2-4＜0，∴x2-ax+1＞0恒成立，
函数f（x）定义域为R，
当a=2，△=a2-4=0，函数f（x）定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
当a∈（2，+∞）时，∵△=a2-4＞0，
x2-ax-1=0的两个根为x1=，x2=，且x1＜x2，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，x1）∪（x1，x2）∪（x2，+∞）
（2）f（x）===
当a=0时，f′（x）=，∴f（x）在R上的单调递增；
当a∈（0，2）时，a+1＞1，∴f（x）在（-∞，1）单调递增；
（1，1+a）单调递减，（1+a，+∞）单调递增；
当a=2时，f′（x）=，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增，（1，3）单调递减，（3，+∞）单调递增；
当a∈（2，+∞）时，0＜x1＜1＜x2，
又对称轴x=＜a+1，且（a+1）2-a（a+1）+1=a+2＞0，
∴x2＜a+1，
∴f（x）在（-∞，x1），（x1，1）单调递增，（1，x2），（x2，a+1）单调递减，（1+a，+∞）单调递增；