Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）=2，则f（x）在[-3，3]上的最大值为    ．

Answer

先设x1＜x2，通过f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）来判断f（x2）与f（x1）的大小关系；得到其单调性，再通过赋值即可得到结论．
【解析】
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x2-x1＞0，由题意得f（x2-x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R是增函数；
又∵f（2）=2⇒f（1）+f（1）=f（2）=2f（1）⇒f（1）=1
∴f（3）=f（1）+f（2）=3．
∵f（x）在[-3，6]上是增函数，
∴f（x）max=f（3）=3
故答案为：3．