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高中数学试题
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设f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y=f'(x)的图象经过...
设f(x)=ax
3
+bx
2
+cx的极小值为-8,其导函数y=f'(x)的图象经过点
,如图所示,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m
2
-14m恒成立,求实数m的取值范围.
(1)求出y=f'(x),因为导函数图象经过(-2,0)和(,0),代入即可求出a、b、c之间的关系式,再根据图象可知函数的单调性,而f(x)极小值为-8可得f(-2)=-8,解出即可得到a、b、c的值; (2)根据函数增减性求出函数在区间[-3,3]的最小值大于等于m2-14m,即可求出m的范围. 【解析】 (1)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且y=f'(x)的图象经过点(-2,0),, ∴ ∴f(x)=ax3+2ax2-4ax, 由图象可知函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减, 由f(x)极小值=f(-2)=a(-2)3+2a(-2)2-4a(-2)=-8,解得a=-1 ∴f(x)=-x3-2x2+4x (2)要使对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立, 只需f(x)min≥m2-14m即可. 由(1)可知函数y=f(x)在[-3,2)上单调递减,在上单调递增,在上单调递减 且f(-2)=-8,f(3)=-33-2×32+4×3=-33<-8 ∴f(x)min=f(3)=-33(11分)-33≥m2-14m⇒3≤m≤11 故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}.
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考点分析:
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