Question

在数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=1-，b_n=，其中n∈N⁺，
（Ⅰ）求证：数列{b_n} 是等差数列，并求数列{a_n} 的通项公式a_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n，数列{C_nC_n+1} 的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜对于n∈N⁺恒成立，若存在，求出m的最大值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）要证数列{bn}是等差数列，只需证明bn+1-bn=2；
（2）由an=，可得cn=an==，从而利用裂项法求前n项和为Tn，进而利用最值思想解决恒成立问题．
（1）证明：∵a1=1，an+1=1-，bn=，
∴bn+1-bn===-=2（n∈N*）
∴数列{bn}是等差数列，
∵a1=1，∴b1==2，
∴bn=2+（n-1）×2=2n，
由bn=，得2an-1==，（n∈N*）
∴an=．
（2）∵cn=an==，
∴CnCn+1==，
∴T=c1c2+c2c3+…+cncn+1
=（1-）+（）+（）+…+（）
=1-＜1，
∵Tn=1-＜对于n∈N+恒成立，
∴，∴m≤2，
所以m的最大值为2．