Question

设函数f（x）=-x³+x²+（m²-1）x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+有三个互不相同的零点，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．
（Ⅱ）根据题意求出函数的导数并且通过导数求出出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于0，极小值小于0，即可单调答案．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=-x3+x2+（m2-1）x，（x∈R），
∴f′（x）=-x2+2x+m2-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1-m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

 x （-∞，1-m）  1-m  （1-m，1+m）  1+m  （1+m，+∞）
 f′（x） -  0 +  0 -
 f（x） ↓  极小值 ↑  极大值 ↓

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
f（x）在x=1-m处取极小值f（1-m）=-=-．
f（x）在x=1+m处取极大值f（1+m）=-=．
（Ⅱ）∵f（x）=-x3+x2+（m2-1）x，
∴g（x）=f（x）+=-x3+x2+（m2-1）x+，
由（Ⅰ）知：g（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，
在（1-m，1+m）内是增函数．
在x=1-m处取极小值，x=1+m处取极大值，
∵函数g（x）=f（x）+有三个互不相同的零点，且m＞0，
∴，
解得．