已知函数在x=a处取得极值．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数g（x）=2x3-3af′...

已知函数

在x=a处取得极值．
（Ⅰ）求 manfen5.com 满分网

；
（Ⅱ）设函数g（x）=2x³-3af′（x）-6a³，如果g（x）在开区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围．

（1）先求导函数，然后根据导数的几何意义可知f'（a）=0，可求出的值；（2）将b用a表示，可求出函数g（x）的解析式，讨论a的正负，分别求出函数的极值点，使极值点在开区间（0，1）上，建立不等式关系，解之即可．解（1）f'（x）=-x2+2bx-3a2 由题意知f'（a）=-a2+2ba-3a2=0则b=2a ∴ （2）由已知可得g（x）=2x3+3ax2-12a2x+3a3 则g'（x）=6x2+6ax-12a2=6（x-a）（x+2a）令g'（x）=0，得x=a或x=-2a 若a＞0，当x＜-2a或x＞a时，g'（x）＞0；当-2a＜x＜a时，g'（x）＜0 所以当x=a时，g（x）有极小值， ∴0＜a＜1 若a＜0，当x＜a或x＞-2a时，g'（x）＞0；当a＜x＜-2a时，g'（x）＜0 所以当x=-2a时，g（x）有极小值， ∴0＜-2a＜1即所以当或0＜a＜1时，g（x）在开区间（0，1）上存在极小值．

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考点分析：

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