Question

给定函数f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0．
（1）a=-4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）的极值点．

Answer

（1）当a=-4时，f（x）=x2-4ln（x+1）（x＞-1），求导函数，即可确定函数的单调区间；
（2）求导函数，可得，令f'（x）=0，可知，再进行分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数的极值点．
【解析】
（1）当a=-4时，f（x）=x2-4ln（x+1）（x＞-1）
求导函数，可得（2分）
令f'（x）=0，x2+x-2=0，∴x1=-2（舍去）或x2=1
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（-1，1）（5分）
（2）求导函数，可得（7分）
令f'（x）=0，则2x2+2x+a=0，，∴
①当

 x     （-1，x2）   x2  （x2，+∞）
 f'（x） -  0 +
 f（x） ↘  极小值 ↗

∴当a＜0时，f（x）有唯一极小值点（11分）
②当

 x   （-1，x1）    x1  （x1，x2）    x2  （x2，+∞）
 f'（x） +  0 -  0 +
 f（x） ↗ 极大值 ↘  极小值 ↗

∴函数f（x）有极大值点为，极小值为（13分）