Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求实数a，b的值，若不存在请说明理由．
（Ⅱ）若a=2，且对任意x∈（-1，+∞），f（x）＞b+1恒成立，求b的取值范围．
（Ⅲ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值．

Answer

（Ⅰ）不等式ax2-bx+1＞0的解集是（3，4），利用一元二次方程根与系数的关系求得a=，b=．而此时，不等式 ax2-bx+1＞0的解集是（0，3）∪（4，+∞），不是（3，4），故不存在实数a，b的值满足条件．
（Ⅱ）由条件得b＜对x＞-1恒成立，令 x+1=t，t＞0，则 ==2（t+-2）≥0，由此求得b＜0．
（Ⅲ）由b=a+2，可得f（x）=ax2-（a+2）x+1，分a=0、a≠0两种情况，分别求出a的值，从而得出结论．
【解析】
（Ⅰ）不等式ax2-bx+1＞0的解集是（3，4），故方程式 ax2-bx+1=0的两根是 x1=3，x2=4．---（2分）
所以=x1•x2=12，=x1+x2=7，所以a=，b=．------（4分）
而当 a=，b= 时，不等式 ax2-bx+1＞0的解集是（0，3）∪（4，+∞），不是（3，4），
故不存在实数a，b的值，使不等式ax2-bx+1＞0的解集是 （3，4）．-----------（5分）
（Ⅱ）由条件得：2x2-bx+1＞b+1对x＞-1恒成立，即b＜对x＞-1恒成立．-------（7分）
令 x+1=t，t＞0，则 ==2（t+-2）≥0，当且仅当 x=0时，时取等号，----------（9分）
∴b＜0．---------（10分）
（Ⅲ）∵b=a+2，∴f（x）=ax2-（a+2）x+1，
（1）当a=0时，f（x）=-2x+1，f（x）恰有一个零点，但不在（-2，-1）内．------（11分）
（2）当a≠0时，△=（a+2）2-4a＞0，f（x）=ax2-bx+1恒有两个零点．------（12分）
①当f（-2）f（-1）＜0时，f（x）在（-2，-1）内恰有一个零点，即（6a+5）（2a+3）＜0，解得-＜a＜-，再由a∈Z可得 a=-1．------（14分）
②当f（-2）=0时，a=-，此时，f（x）的另一个零点为 不在（-2，-1）内．------（15分）
③当f（-1）=0时，a=，此时，f（x）的另一个零点为也不在（-2，-1）内．
综上可得，a=-1．------（16分）