Question

已知数列{a_n}满足：a₁=-5，a_n+1=2a_n+3n+1，已知存在常数p，q使数列{a_n+pn+q}为等比数列．
（1）求常数p、q及{a_n}的通项公式；
（2）解方程a_n=0．
（3）求|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer

（1）假设存在，利用等比的性质建立方程，根据同一性求参数的值，即可求解
（2）计算可求a1，a2，a3，a4，a5，猜测n≥5，an＞0，然后利用数学归纳法进行证明，结合计算即可求解满足条件的n
（3）由（2）可得，当n≤3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-（a1+a2+a3）+a4+a5+…+an=a1+a2+…+an-2（a1+a2+a3），结合（1）可求
【解析】
（1）由条件令，an+1+p（n+1）+q=k（an+pn+q），
则：an+1=kan+（kp-p）n+kq-q-p
故：⇒
又a1+p+q=2
∴，∴（5分）
（2）计算知a1=-5，a2=-6，a3=-5，a4=0，a5=13，
故猜测n≥5，an＞0即2n＞3n+4，下证．
（i）当n=5成立
（ii）假设n=k（k≥5）成立，即2k＞3k+4
那么2k+1＞2•（3k+4）=6k+8＞
故n=k+1成立．
由（i）、（ii）可知命题成立．
故an=0的解为n=4．（4分）
（3）由（2）可得，当n≤3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-（a1+a2+a3）+a4+a5+…+an=a1+a2+…+an-2（a1+a2+a3）
=（4分）