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等差数列{ an}中a3=7,a1+a2+a3=12,记Sn为{an}的前n项和...

等差数列{ an}中a3=7,a1+a2+a3=12,记Sn为{an}的前n项和,令bn=anan+1,数列{manfen5.com 满分网}的前n项和为Tn
(1)求an和Sn
(2)求证:Tnmanfen5.com 满分网
(3)是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出m,n的值,若不存在,说明理由.
(1)设数列{an}的公差为d,由a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12,解得a1=1,d=3,由此能求出an和Sn. (2)由bn=anan+1=(3n-2)(3n+1),知=,由此能够证明Tn<. (3)由(2)知,,故,,,由T1,Tm,Tn成等比数列,能够推导出存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列. 【解析】 (1)设数列{an}的公差为d, 由a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12, 解得a1=1,d=3, ∴an=3n-2, =. (2)∵bn=anan+1=(3n-2)(3n+1), ∴=, =. (3)由(2)知,,∴,,, ∵T1,Tm,Tn成等比数列, ∴=, 即, 当m=1时,7=,n=1,不合题意; 当m=2时,,n=16,符合题意; 当m=3时,,n无正整数解; 当m=4时,,n无正整数解; 当m=5时,,n无正整数解; 当m=6时,,n无正整数解; 当m≥7时,m2-6m-1=(m-3)2-10>0, 则,而, 所以,此时不存在正整数m,n,且7<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列. 综上,存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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