Question

已知函数，（p₁，p₂为实数），函数f（x）定义为：对于每个给定的x，．
（1）讨论函数f₁（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f₂（x）≥6；
（3）若f（x）=f₁（x）对任意实数x都成立，求p₁，p₂满足的条件．

Answer

（1）通过p1=0与p1≠0，直接判断函数的奇偶性即可．
（2）直接利用指数函数的性质，转化指数不等式为绝对值不等式，求解即可．
（3）根据定义，问题等价于“f1（x）≤f2（x）恒成立”，从而进一步转化为具体不等式恒成立问题，可求p1，p2满足的条件．
【解析】
（1）当p1=0时，函数f1（x）=3|x|，
显然函数是偶函数，当p1≠0时，函数的对称轴为 x=p，
所以此时函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）因为，f2（x）≥6，
所以，即，
所以|x-p2|≥1，解得-1+p2≥x或x≥1+p2．
所以不等式的解集为{x|-1+p2≥x或x≥1+p2}．
（3）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）
等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）
这又等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|，
即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立．（*）
由于|x-p1|-|x-p2|≤|（x-p1）-（x-p2）|=|p1-p2|（x∈R）的最大值为|p1-p2|，
故（*）等价于3|p1-p2|≤2，即|p1-p2|≤log32，这就是所求的条件．
综上：|p1-p2|≤log32